Sabtu, 27 Desember 2014

Model Pembelajaran Matematika




PENDEKATAN OPEN-ENDED DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

A. Pengertian Open-Ended Menurut Suherman dkk (2003; 123) problem yang diformulasikan memiliki multijawaban yang benar disebut problem tak lengkap atau disebut juga Open-Ended problem atau soal terbuka. Siswa yang dihadapkan dengan Open-Ended problem, tujuan utamanya bukan untuk mendapatkan jawaban tetapi lebih menekankan pada cara bagaimana sampai pada suatu jawaban. Dengan demikian bukanlah hanya satu pendekatan atau metode dalam mendapatkan jawaban, namun beberapa atau banyak.
Sifat “keterbukaan” dari suatu masalah dikatakan hilang apabila hanya ada satu cara dalam menjawab permasalahan yang diberikan atau hanya ada satu jawaban yang mungkin untuk masalah tersebut. Contoh penerapan masalah Open-Ended dalam kegiatan pembelajaran adalah ketika siswa diminta mengembangkan metode, cara atau pendekatan yang berbeda dalam menjawab permasalahan yang diberikan bukan berorientasi pada jawaban (hasil) akhir.
Pembelajaran dengan pendekatan Open-Ended diawali dengan memberikan masalah terbuka kepada siswa. Kegiatan pembelajaran harus mengarah dan membawa siswa dalam menjawab masalah dengan banyak cara serta mungkin juga dengan banyak jawaban (yang benar), sehingga merangsang kemampuan intelektual dan pengalaman siswa dalam proses menemukan sesuatu yang baru.
Tujuan dari pembelajaran Open-Ended problem menurut Nohda (Suherman, dkk, 2003; 124) ialah untuk membantu mengembangkan kegiatan kreatif dan pola pikir matematik siswa melalui problem posing secara simultan. Dengan kata lain, kegiatan kreatif dan pola pikir matematik siswa harus dikembangkan semaksimal mungkin sesuai dengan kemampuan setiap siswa.
Pendekatan Open-Ended menjanjikan kepada suatu kesempatan kepada siswa untuk meginvestigasi berbagai strategi dan cara yang diyakininya sesuai dengan kemampuan mengelaborasi permasalahan. Tujuannya tiada lain adalah agar kemampuan berpikir matematika siswa dapat berkembang secara maksimal dan pada saat yang sama kegiatan-kegiatan kreatif dari setiap siswa terkomunikasi melalui proses pembelajaran. Inilah yang menjadi pokok pikiran pembelajaran dengan Open-Ended, yaitu pembelajaran yang membangun kegiatan interaktif antara matematika dan siswa sehingga mengundang siswa untuk menjawab permasalahan melalui berbagai strategi.
Dalam pembelajaran dengan pendekatan Open-Ended, siswa diharapkan bukan hanya mendapatkan jawaban tetapi lebih menekankan pada proses pencarian suatu jawaban. Menurut Suherman dkk (2003:124) mengemukakan bahwa dalam kegiatan matematik dan kegiatan siswa disebut terbuka jika memenuhi ketiga aspek berikut:
1. Kegiatan siswa harus terbuka
Yang dimaksud kegiatan siswa harus terbuka adalah kegiatan pembelajaran harus mengakomodasi kesempatan siswa untuk melakukan segala sesuatu secara bebas sesuai kehendak mereka.
2. Kegiatan matematika merupakan ragam berpikir
Kegiatan matematik adalah kegiatan yang didalamnya terjadi proses pengabstraksian dari pengalaman nyata dalam kehidupan sehari-hari ke dalam dunia matematika atau sebaliknya.
3. Kegiatan siswa dan kegiatan matematika merupakan satu kesatuan
Dalam pembelajaran matematika, guru diharapkan dapat mengangkat pemahaman dalam berpikir matematika sesuai dengan kemampuan individu. Meskipun pada umumnya guru akan mempersiapkan dan melaksanakan pembelajaran sesuai dengan pengalaman dan pertimbangan masing-masing. Guru bisa membelajarkan siswa melalui kegiatan-kegiatan matematika tingkat tinggi yang sistematis atau melalui kegiatan-kegiatan matematika yang mendasar untuk melayani siswa yang kemampuannya rendah. Pendekatan uniteral semacam ini dapat dikatakan terbuka terhadap kebutuhan siswa ataupun terbuka terhadap ide-ide matematika.
Pada dasarnya, pendekatan Open-Ended bertujuan untuk mengangkat kegiatan kreatif siswa dan berpikir matematika secara simultan. Oleh karena itu hal yang perlu diperhatikan adalah kebebasan siswa untuk berpikir dalam membuat progress pemecahan sesuai dengan kemampuan, sikap, dan minatnya sehingga pada akhirnya akan membentuk intelegensi matematika siswa.
B. Orientasi Pembelajaran Open-Ended dalam Pembelajaran Matematika
Sama halnya seperti ilmu-ilmu sosial, permasalahan atau soal-soal dalam matematika pun secara garis besar dapat diklasifikasi menjadi menjadi dua bagian. Yang pertama adalah masalah-masalah matematika tetutup (closed problems). Dan yang kedua adalah masalah-masalah matematika terbuka (open problems).
Yang selama ini muncul di permukaan dan banyak diajarkan di sekolah adalah masalah-masalah matematika yang tertutup (closed problems). Di mana memang dalam menyelesaikan masalah-maslah matematika tertutup ini, prosedure yang digunakannya sudah hampir bisa dikatakan standar alias baku. Akibatnya timbul persepsi yang agak keliru terhadap matematika. Matematika dianggap sebagai pengetahuan yang pasti dan procedural.
Sementara itu, masalah-masalah matematika terbuka (open problems) sendiri hampir tidak tersentuh, hampir tidak pernah muncul dan disajikan dalam proses pembelajaran matematika di sekolah. Akibatnya bila ada permasalahan matematika macam ini, soal atau permasalahan itu dianggap ‘salah soal’ atau soal yang tidak lengkap.
Secara sederhana, open problems sendiri dapat dikelompokkan menjadi dua bagian. Yakni open-ended problems dan pure open problems. Untuk open-ended problems sendiri dapat dikelompokkan menjadi dua bagian. Yakni: (1) problems dengan satu jawaban banyak cara penyelesaian; dan (2) problems dengan banyak cara penyelesaian juga banyak jawaban.
Apa bedanya closed problems dan open problems?
Di dalam makalah ini akan didefinisikan bedanya! Namun hanya akan memberikan sebuah contoh untuk hal ini. Khusus untuk open problems, kami hanya akan memberi contoh yang termasuk open-ended problems.
1. Contoh closed problems (cocok untuk siswa SD kelas 3).
Seekor sapi yang diniatkan untuk dikurbankan ‘berat’nya 500 kg. Berat sapi ini sama dengan berat 20 orang anak-anak. Berapa rata-rata berat masing-masing anak?
Soal ini termasuk closed problems karena dengan prosedur yang standar, yakni pembagian , kita dengan pasti dapat menentukan rata-rata berat masing-masing anak. Dan ini jelas merupakan soal yang berupa satu cara dan satu jawaban. Makanya soal ini termasuk dalam kelompok closed problems.
Soal di atas, dengan sedikit “sentuhan “, dapat diubah menjadi sebuah soal yang termasuk dalam kelompok open-ended problems sehingga menjadi soal berikut ini.
Seekor sapi yang ‘berat’nya 500 kg akan dikurbankan. Setara dengan berapa orang anak-kah ‘berat’ sapi tersebut?
Soal ini termasuk dalam open-ended problems karena kita tidak secara pasti tahu prosedure untuk menjawab soal ini. Bila dipikir-pikir, soal ini akan mengundang banyak cara dan juga banyak jawaban. Soal semacam ini amat jarang diberikan. Dan kalaupun ada, jaman dulu dianggap sebagai soal yang tidak lengkap.
Padahal, soal semacam ini menuntut kreativitas kita dalam menjawabnya. Soal semacam ini pun menuntut kita untuk berfikir lebih ketimbang hanya mengingat prosedure baku dalam menyelesaikan suatu masalah. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita tak dapat langsung begitu saja menjawabnya. Soal ini menuntut kita berpikir lebih cerdas. Menuntut kita untuk melakukan perencanaan sebelum mendapat jawaban. Soal ini menuntut kita agar dapat mengantisipasi berbagai kemungkinan jawaban. Pun mengantisispasi berbagai cara yang mungkin dilakukan untuk menjawabnya. Pendeknya, soal ini melatih kita untuk menggunakan penalaran dan kreativitas. Ya, tak sekedar hanya menghafalkan prosedur menjawab seperti biasanya.
Menurut Sawada (1997), bila open-ended problems semacam soal tadi diberikan pada para siswa di sekolah, setidaknya ada lima keuntungan yang dapat diharapkan seperti yang akan dipaparkan pada keunggulan pendekatan open-ended di bawah.
C. Mengkonstruksi Problem
Menurut Suherman, dkk. (2003) mengkonstruksi dan mengembangkan masalah Open-ended yang tepat dan baik untuk siswa dengan tingkat kemampuan yang beragam tidaklah mudah. Akan tetapi berdasarkan penelitian yang dilakukan di Jepang dalam jangka waktu yang cukup panjang, ditemukan beberapa hal yang dapat dijadikan acuan dalam mengkonstruksi masalah, antara lain sebagai berikut:
1. Menyajikan permasalahan melalui situasi fisik yang nyata di mana konsep-konsep matematika dapat diamati dan dikaji siswa.
2. Menyajikan soal-soal pembuktian dapat diubah sedemikian rupa sehingga siswa dapat menemukan hubungan dan sifat-sifat dari variabel dalam persoalan itu.
3. Menyajikan bentuk-bentuk atau bangun-bangun (geometri) sehingga siswa dapat membuat suatu konjektur.
4. Menyajikan urutan bilangan atau tabel sehingga siswa dapat menemukan aturan matematika.
5. Memberikan beberapa contoh konkrit dalam beberapa kategori sehingga siswa bisa mengelaborasi siifat-sifat dari contoh itu untuk menemukan sifat-sifat dari contoh itu untuk menemukan sifat-sifat yang umum.
6. Memberikan beberapa latihan serupa sehingga siswa dapat menggeneralisasai dari pekerjaannya
D. Mengembangkan Rencana Pembelajaran
Setelah guru menyusun suatu masalah open-ended dengan baik, langkah selanjutnya adalah mengembangkan rencana pembelajaran. Pada tahap ini hal-hal yang perlu diperhatikan adalah:
1. Tuliskan respon siswa yang diharapkan Siswa diharapkan merespon masalah yang diberikan dengan berbagai cara. Namun, mengingat kemampuan siswa dalam mengemukakan gagasan dan pikirannya masih terbatas, maka guru perlu menuliskan daftar antisipasi respon siswa terhadap masalah. Hal ini diperlukan sebagai upaya mengarahkan dan membantu siswa memecahkan masalah sesuai dengan cara dan kemampuannya.
2. Tujuan yang harus dicapai dari masalah yang diberikan harus jelas. Guru harus benar-benar memahami peran masalah yang akan diberikan kepada siswa dalam keseluruhan pembelajaran. Apakah masalah yang akan diberikan kepada siswa diperlakukan sebagai pengenalan konsep baru atau sebagai rangkuman dari kegiatan belajar siswa. Berdasarkan berberapa hasil penelitian masalah open-ended efektif digunakan untuk pengenalan konsep baru atau dalam merangkum kegiatan belajar.
3. Sajikan masalah dengan cara dan bentuk yang menarik. Mengingat pemecahan masalah open-ended memerlukan waktu untuk berpikir, maka konteks permasalahan yang disampaikan harus dikenal baik oleh siswa dan harus menarik perhatian serta membangkitkan semangat intelektual.
4. Berikan informasi dalam masalah selengkap mungkin sehingga siswa dengan mudah dapat memahami maksud dari masalah yang disampaikan. Masalah yang disajikan harus memuat informasi yang lengkap sehingga siswa dapat memahaminya dengan mudah dandapat menemukan pemecahannya. Siswa dapat mengalami kesulitan memahami masalah dan memecahkannya apabila penjelasan masalah terlalu ringkas. Hal ini bisa terjadi karena guru bermaksud memberi kebebasan kepada siswa untuk memilih cara dan pendekatan pemecahan masalah.
5. Berikan waktu yang cukup kepada siswa untuk mengeksplorasi masalah Guru harus memperhitungkan waktu yang dibutuhkan siswa untuk memahami masalah, mendiskusikan kemungkinan pemecahannya, dan merangkum apa yang telah dipelajari. Oleh karena itu guru dapat membagi waktu dalam dua periode. Periode pertama, siswa bekerja secara individual atau kelompok dalam memecahkan masalah dan membuat rangkuman dari hasil pemecahan masalah. Peride kedua, digunakan untuk diskusi kelas mengenai strategi dan pemecahan serta penyimpulan dari guru.
E. Keunggulan dan Kelemahan Pendekatan Open-Ended
1. Keunggulan Pendekatan Open-ended
Pendekatan Open-ended memiliki beberapa keunggulan antara lain (Suherman, dkk, 2003):
a. Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering mengekspresikan idenya.
b. Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan pengetahuan dan keterampilan matematika secara komprehensif.
c. Siswa dengan kemampuan matematika rendah dapat merespon permasalahan dengan cara mereka sendiri.
d. Siswa secara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau penjelasan.
e. Siswa memiliki pengalaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam menjawab permasalahan.
2. Kelemahan Pendekatan Open-ended
Di samping keunggulan, terdapat pula kelemahan dari pendekatan Open-ended, diantaranya (Suherman, dkk, 2003):
a. Membuat dan menyiapkan masalah matematika yang bermakna bagi siswa bukanlah pekerjaan mudah.
b. Mengemukakan masalah yang langsung dapat dipahami siswa sangat sulit sehingga banyak siswa yang mengalami kesulitan bagaimana merespon permasalahan yang diberikan.
c. Siswa dengan kemampuan tinggi bisa merasa ragu atau mencemaskan jawaban mereka.
Mungkin ada sebagaian siswa yang merasa bahwa kegiatan belajar mereka tidak menyenangkan karena kesulitan yang mereka hadapi.


SEMOGA BERMANFAAT .

Senin, 10 November 2014

Cara Membuat Anak Lebih Tertarik Pada Matematika

Membuat Anak Lebih Tertarik Dengan Matematika 

Matematika ternyata masih menjadi momok menakutkan bagi sebagian siswa. Tahun ini, jika melihat hasil Ujian Nasional SMP pun demikian. Kegagalan siswa ternyata ada di dua pelajaran utama yaitu Matematika dan Bahasa Indonesia. Tidak sedikit siswa yang mengalami kesulitan ketika belajar Matematika. Padahal pelajaran ini sangat penting dan juga bisa memengaruhi kepribadian seseorang dalam memutuskan sesuatu hal. Banyak cara dilakukan agar anak tertarik belajar Matematika.
Ketika saya masih duduk di bangku SD, saya belajar Matematika menggunakan lidi. Lidi rasanya sudah menjadi trade mark sekolah-sekolah pinggiran yang jauh dari teknologi sama halnya seperti yang pernah digambarkan dalam film Laskar Pelangi.
Namun di zaman sekarang ini, peran teknologi begitu membantu anak-anak untuk menggemari Matematika bukan hanya sekedar sebuah angka dan sebuah pelajaran, melainkan menjadi sebuah permainan yang sangat menantang.
Math Maniac Android
Salah satu contohnya adalah aplikasi di Android. Ada game bernama  Math Maniac. Memang game ini terkesan rumit. Tapi ternyata game ini sangat cocok bagi anak-anak hingga orang dewasa yang masih lemah dalam bidang hitung menghitung. Saya pun menggunakannya sekedar untuk mengisi waktu luang.
Manfaatnya cukup banyak, salah satunya ketika ada tes psikotes berhitung kemampuan saya jadi jauh lebih baik karena terbiasa bermain game Math Maniac. Karena game adalah keterampilan. Saya mengalami kesulitan juga jika sudah lama tidak memainkannya hehehe. Cara memainkannya tinggal mencari dua angka atau lebih untuk dicocokan dengan jumlah angka yang muncul di sebelah kiri seperti terliaht di gambar. Tentu saja ada waktu yang berjalan ketika memainkan game ini.
Math Maniac sama halnya dengan game lalinnya. Semakin mahir kita memainkannya level yang kita mainkan akan semakin meningkat. Tentu saja ini menunjukkan kemahiran kita bukan hanya dalam berhitung tapi juga dalam bermain game. Saya rasa ini akan menjadi sebuah tantangan yang menarik apalagi jika mendapatkan level yang cukup tinggi. Ada kebanggaan tersendiri jika sudah menaklukan level demi level.
Monster School Bus
Bagi yang suka berselancar dirumah ada juga game online yang bakal membuat anak anda tertarik dengan Matematika. Game ini game yang dirancang khusus memang untuk meningkatkan kemampuan Matematika seorang anak. Jadi tingkatnya memang lebih tinggi jika dibandingkan dengan Math Maniac.
MSB dibuat khusus oleh sebuah team dari New Mexico State University. Game berbentuk Flash ini lahir berdasarkan sebuah penelitian ilmiah. Ternyata ada gap antara siswa dalam memahami konsep dengan guru yang menerangkan konsep ketika dalam pembelajaran di kelas terutama pelajaran Matematika yang diteliti dalam kasus ini. Gap tersebut dikurangi dengan menghasilkan sebuah game yang menarik dan membuat anak merasa seperti bermain sambil belajar.
Cara memainkannya sangat mudah karena tinggal menggerakkan kursor di keyboard. Tugasnya adalah mengantar anak-anak ke sekolah dengan menggunakan bus sekolah. Pemain berperan sebagai sopir bus. Dengan kapasitas bus yang terbatas sopir dituntut untuk bisa menjemput anak-anak secara efektif dan efisien. Silahkan dilihatvideonya.

<iframe allowfullscreen=”” frameborder=”0″ height=”360″ src=”http://www.youtube.com/embed/W6mcUwfedik” width=”480″></iframe>
MSB ini hanya salah satu produk dari sekitar 20 animasi games berbentuk flash. Memainkannya memang membuat anak lupa waktu. Jadi orang tua atau guru harus membimbing juga dan mengarahkan siswa agar tidak addicted. Meski tujuannya baik namun pasti ada efek samping jika sudah digunakan secara berlebihan.
Meski game ini diperuntukkan untuk kelas 6 SD keatas, saya rasa bentuk permainannya yang mudah akan sangat mudah dioperasikan oleh siswa dibawak kelas 6 SD.  Sayangnya memang game ini membutuhkan koneksi internet sehingga akan sangat sulit dinikmati bagi mereka yang berada di luar jangkauan internet.
Berdagang
Saya masih ingat bahwa orang tua saya pernah mengajarkan saya berdagang. Ternyata karena pengalaman tersebut saya juga jadi terpaksa harus belajar berhitung. Memang saat itu saya masih SD. 
Ibu saya mengarahkan saya untuk berjualan roti pizza ketika ada acara pesantren kilat di pondok saya. Pembelinya adalah kakak-kakak kelas yang mondok selama mengisi waktu liburan. 
Saya belajar pertambahan, pengurangan dan perkalian karena berdagang. Cara ini mungkin cara yang paling efektif karena sangat terasa sekali manfaatnya. Dengan berjualan saya mendapatkan uang saku untuk jajan sekaligus belajar berhitung.
Sebetulnya banyak cara yang dapat dilakukan untuk mendorong anak agar menyukai matematika. Matematika menjadi sebuah pelajaran yang paling dasar yang harus dikuasai. Karena dengan memperlajari matematika kita tidak mudah dibohongi atau dibodohi ketika melakukan transaksi jual beli. Mungkin itu manfaat yang paling minimal yang saya rasakan.
Kuncinya memang ada pada kreatifitas orang tua dan guru bagaimana caranya supaya anak tertarik. Bisa dengan cara melibatkan teknologi atau dengan cara berdagang seperti yang diajarkan Orang tua saya.
Semoga bermanfaat :)

Metode Belajr Matematika

METODE BELAJAR MATEMATIKA: CARA MENGUASAI RUMUS CEPAT MATEMATIKA

“Bagaimana cara belajar matematika yang benar?”
“Belajar matematika adalah belajar hidup. Matematika adalah jalan hidup.”
Trachtenberg mempertaruhkan jiwanya menentang Hitler. Trachtenberg, setelah menyelami prinsip-prinsip matematika, menyimpulkan bahwa prinsip kehidupan adalah keharmonisan. Peperangan yang terus berkobar, menyulut kebencian tidak sesuai dengan prinsip-prinsip matematika. Matematika adalah keindahan.
Atas penentangannya ini, Hitler menghadiahi Trachtenberg hukuman penjara. Bagi Trachtenberg, perjara bukan apa-apa. Di dalam penjara, dia justru memiliki kesempatan memikirkan matematika tanpa banyak gangguan. Karena sulit mendapatkan alat tulis-menulis, Trachtenberg mengembangkan pendekatan matematika yang berbasis mental-imajinasi.
Seribu tahun sebelum itu, AlKhawaritzmi mengembangkan disiplin matematika baru: aljabar. AlKharitzmi beruntung hidup dalam lingkungan agama Islam yang kuat. Ajaran Islam, secara inheren, menuntut keterampilan matematika tingkat tinggi. Misalnya, Islam menetapkan aturan pembagian waris yang detil. Pembagian waris sistem Islam melibatkan banyak variabel matematis. Variabel-variabel yang beragam ini menantang penganut Islam – termasuk AlKhawaritzmi – untuk mencari pemecahan yang elegan.
Pemecahan terhadap sistem persamaan yang melibatkan banyak variabel ini membawa ke arah disiplin baru matematika: aljabar. AlKhawaritzmi menulis buku khusus tentang aljabar yang sangat fenomenal. Buku yang berjudul Aljabar ini menjadi panutan bagi matematikawan seluruh dunia. Sehingga nama AlKhawaritzmi menjadi dikenal sebagai Aljabar AlKhawaritzmi (Algebra Algorithm).
Sistem kalender Islam yang berbasis pada komariah (bulan, lunar) memberikan tantangan tersendiri. Penetapan awal bulan menjadi krusial di dalam Islam. Berbeda dengan kalender syamsiah (matahari, solar). Dalam kalender syamsiah, kita tidak begitu sensitif apa berbedaan tanggal 1 Juni dengan 2 Juni. Tetapi pada sistem komariah, perbedaan 1 Ramadhan denga 2 Ramadhan berdampak besar.
Itulah sebabnya, astronomi Islam dapat maju lebih awal. Astronomi memicu lebih berkembangnya teori trigonometri. Aturan sinus, cosinus, dan kawan-kawan berkembang pesat di tangan para astronom Islam waktu itu.
Ajaran agama Islam adalah jalan hidup. Untuk bisa melaksanakan ajaran Islam diperlukan matematika. Matematika menjadi jalan hidup.
Sehebat itukah peran matematika?
Haruskah kita mengambil matematika sebagai jalan hidup?
Tidak selalu! Tidak semua orang perlu mengambil matematika sebagai jalan hidup. Tidak harus semua orang meniru AlKhawaritzmi dan Trachtenberg.
Beberapa orang belajar matematika hanya untuk kesenangan. Beberapa orang yang lain belajar karena kewajiban. Ada pula yang belajar matematika agar naik jabatan. Ada juga agar lulus UN, SPMB, UMPTN. Ada juga untuk menjadi juara.
Masing-masing tujuan, berimplikasi kepada cara belajar matematika yang berbeda. Misalnya bila Anda belajar matematika untuk kepentingan lulus UN, SPMB, UMPTN 2008 akan berbeda dengan belajar untuk memenangkan olimpiade matematika.
Matematika UN, SPMB, UMPTN 2008 hanya menerapkan soal pilihan ganda. Implikasinya Anda hanya dinilai dari jawaban akhir Anda. Proses Anda menemukan jawaban itu tidak penting. Jadi Anda harus memilih siasat yang cepat dan tepat.
Gunakan berbagai macam rumus cepat dalam matematika. Rumus cepat ampuh Anda gunakan untuk UN, SPMB, UMPTN. Tetapi rumus cepat matematika tidak akan berguna untuk olimpiade atau kuliah kalkulus kelak di perguruan tinggi. Anda harus sadar itu.
Contoh rumus cepat matematika yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN adalah rumus tentang deret aritmetika.
Contoh soal:
Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n^2 + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…
Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.
Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1) .
Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung menghitung U11 dengan cara menghitung selisih
S11 – S10 = U11
[3(11^2) + 11] – [3(10^2) + 10]
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10
= 3.21 + 1
= 64
Cara ketiga, adalah rumus matematika paling cepat dari kedua rumus di atas. Tetapi sebelum menerapkan cara ketiga, kita harus memahami konsepnya terlebih dahulu dengan baik.
Are you ready?
Bentuk baku dari n suku pertama deret aritmetika adalah
Sn = (b/2)n^2 + k.n
Un = b(n-1) + a
a = S1 = U1
Anda harus pahami konsep di atas dengan baik. Cobalah untuk beberapa soal yang berbeda-beda. Tanpa pemahaman konsep yang baik, rumus cepat ini akan berubah menjadi rumus berat.
Dengan hanya melihat soal (tanpa menghitung di kertas) bahwa
Sn = 3n^2 + n
Kita peroleh
b = 6 (dari 3 x 2)
a = 4 (dari S1 = 3 + 1)
U11 = 6.10 + 4 = 64 (Selesai)
Semua perhitungan di atas dapat kita lakukan tanpa menggunakan alat tulis. Semua kita lakukan hanya dalam imajinasi kita. Ulangi beberapa kali. Anda pasti akan menguasainya dengan baik.
Trik untuk menguasai rumus cepat matematika adalah kuasai pula rumus standarnya – rumus biasanya. Dengan menguasai dua cara ini Anda akan semakin terampil menggunakan rumus cepat matematika.

Persamaan Diferensial

A.Trayektori Ortogonal

Definisi :
            Diketahui keluarga kurva pada bidang  XY yang dinyatakan dalam persamaan F (x,y ,k) = 0 dengan k = parameter. Kurva yang memotong tegak lurus kurva – kurva tersebut dinamakan trayektori ortogonal dari kurva  F.

CONTOH :
            Diberikan keluarga kurva y = mx dan y2 + x2 = k2 yang disajikan pada satu sistem koordinat kartesius seperti gambak dibawah ini :






Terlihat bahwa satu garis berpotongan dengan suatu lingkaran. Garis arah antara lingkarang ( pada titik potong ) dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal, karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal dititik potongnya. Dengan kata lain garis lurus y = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari garis y = mx.

Langkah–langkah menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva
F(x,y, k) = 0 :
Langkah 1 : Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, yaitu y1 = f (x, y, k)
Langkah 2 : Disubsitusikan k = f(x, y) untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi f(x, y, k) = 0 berbentuk   = f(x, y)
Langkah 3 : Dituliskan persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal yaitu  = -
Langkah 4 : Diselesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektoriortogonal.

Contoh :
Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini:
a.       y = cx2
b.      y2 + x2 = 2cx
Penyelesaian :
 a. y = cx2
Langkah 1 : Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx2 yaitu  = 2cx
Langkah 2 : Disubsitusikan c = untuk memperoleh persamaan diferensial implisit:

Langkah 3 : Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu
                    = -
Langkah 4: Selesaikan persamaan diferensial baru
                     ® 2ydy = - xdx
x2 +k1
                        2y2 + x2 = k
Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx2 adalah :
2y2 + x2 = k

b. y2 + x2 = 2cx
Langkah 1 : Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y2 + x2 = 2cx :                        
Langkah 2 : Disubsitusikan c = diperoleh  
Langkah 3 : Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu :
Langkah 4 : Diambil variabel baru u = ,maka dipunyai + u
                   Karena itu, diperoleh + u =  Þ  =  .
Penyelesaian konstannya yaitu u + u3 = 0 yang memberikan hasil u = 0. Penyelesaian tak konstan dicari sebagai berikut : du =  dx.
Dengan metode integrasi fungsi rasional, dipunyai
 - )du = dx  Þln (u) – ln (u2 + 1) = ln(x) + ln(k) Þ = kx
Dengan k ≠ 0 . Dengan mensubsitusikan kembali u = , diperoleh persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y2 + x2 = 2cx.