Persamaan Diferensial

A.Trayektori Ortogonal

Definisi :

            Diketahui keluarga kurva pada bidang  XY yang dinyatakan dalam persamaan F (x,y ,k) = 0 dengan k = parameter. Kurva yang memotong tegak lurus kurva – kurva tersebut dinamakan trayektori ortogonal dari kurva  F.

CONTOH :

            Diberikan keluarga kurva y = mx dan y² + x² = k² yang disajikan pada satu sistem koordinat kartesius seperti gambak dibawah ini :

Terlihat bahwa satu garis berpotongan dengan suatu lingkaran. Garis arah antara lingkarang ( pada titik potong ) dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal, karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal dititik potongnya. Dengan kata lain garis lurus y = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari garis y = mx.

Langkah–langkah menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva

F(x,y, k) = 0 :

Langkah 1 : Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, yaitu y¹ = f (x, y, k)

Langkah 2 : Disubsitusikan k = f(x, y) untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi f(x, y, k) = 0 berbentuk   = f(x, y)

Langkah 3 : Dituliskan persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal yaitu  = -

Langkah 4 : Diselesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektoriortogonal.

Contoh :

Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini:

a.       y = cx²

b.      y² + x² = 2cx

Penyelesaian :

 a. y = cx²

Langkah 1 : Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx² yaitu  = 2cx

Langkah 2 : Disubsitusikan c = untuk memperoleh persamaan diferensial implisit:

Langkah 3 : Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu

                    = -

Langkah 4: Selesaikan persamaan diferensial baru

                     ® 2ydy = - xdx

x² +k1

                        2y² + x² = k

Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx² adalah :

2y² + x² = k

b. y² + x² = 2cx

Langkah 1 : Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y² + x² = 2cx :                        

Langkah 2 : Disubsitusikan c = diperoleh  

Langkah 3 : Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu :

Langkah 4 : Diambil variabel baru u = ,maka dipunyai + u

                   Karena itu, diperoleh + u =  Þ  =  .

Penyelesaian konstannya yaitu u + u³ = 0 yang memberikan hasil u = 0. Penyelesaian tak konstan dicari sebagai berikut : du =  dx.

Dengan metode integrasi fungsi rasional, dipunyai

 - )du = dx  Þln (u) – ln (u2 + 1) = ln(x) + ln(k) Þ = kx

Dengan k ≠ 0 . Dengan mensubsitusikan kembali u = , diperoleh persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y² + x² = 2cx.